布莱克-肖尔斯期权定价模型(B-S Model),自1973在美国政治经济杂志发表后,就一直沿用至今。这一模型以及它的一些变形早已被期权交易商,投资银行,金融管理者,保险企业等广泛使用。本篇文章将重点讲述B-S模型在股票期权之中的应用方法(这也是我国50ETF股票期权所采用的定价方法)。
B-S期权定价模型
1. B-S模型的假设条件
(1) 标的资产的价格行为服从对数正态分布;
(2) 在期权有效期内,无风险利率和金融资产收益变量恒定;
(3) 市场无摩擦,即不存在税收和交易成本,所有证券完全可分割;
(4) 该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施;
(5) 不存在无风险套利机会;
(6) 证券交易是持续的;
(7) 投资者能够以无风险利率借贷。
2. B-S看涨期权定价模型公式
其中:
其中: C - 看涨期权理论价格
K - 期权行权价格
S - 标的资产价格
T - 期权剩余有效期权(年化/365天)
r - 连续复利无风险利率
σ - 年化标准差(收益率-风险度量)
N( ) - 正态分布累计概率分布(可查表)
其中:
- 折现率
3. B-S看跌期权定价模型公式
其中: P - 看跌期权理论价格
期权价格变动风险指标
一般金融衍生品的价格模型公式可以看作是:
其中S,t,r,σ分别代表标的资产价格,衍生品剩余期限,无风险利率,标准差。
对上述公式进行泰勒公式二阶(S)展开可得:
其中:
公式 | 风险指标 | 含义 |
Delta(δ) | 衍生品价格对标的资产价格变动的线性敏感性 | |
Gamma(γ) | 敏感性系数Delta对标的资产价格变动的敏感性 | |
Theta(θ) | 衍生品价格对时间变化的敏感性 | |
Vega(v) | 衍生品价格对标的物价格波动率的线性敏感性 | |
Rho(ρ) | 衍生品价格关于利率水平的线性敏感性 |
根据B-S模型下期权的风险对冲,期权的价格变化可以分解为:
如上图(左为认购期权),对于行权价为2.85的认购期权而言,Delta值为0.4684表明资产价格每上涨一个单位,期权价格上升0.4684单位;Gamma值为5.0228说明资产价格每上涨一个单位,期权Delta上升5.0228单位;Theta值为-0.2624说明每经过一天,期权价格下降0.2624单位;Vega值为0.3120说明资产波动率每上涨一个单位,期权价格上涨0.3120个单位;Rho值为0.0996说明,市场无风险利率每上升一个单位,期权价格上升0.0996个单位。上图右侧的认沽期权风险度量指标同样如此。
标的价格 | 波动率 | 执行价格 | 剩余时间 | |
看涨期权 | + | + | - | + |
看跌期权 | - | + | + | + |
标的资产的波动率以及期权的剩余到期时间和期权的价格正相关。对于看涨期权而言,期权价格与标的资产的价格正相关,而与期权的到期执行价格负相关;而对于看跌期权而言,期权价格与标的资产的价格负相关,而与期权到期的执行价格正相关。
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